PDF-версии: 
Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5.
Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.
Решение. Если среднее арифметическое любых 27 чисел набора меньше 2, то сумма любых 27 чисел набора меньше 27 · 2 = 54. Будучи натуральным числом, эта сумма не превосходит 53.
Обозначим S максимальную сумму 27 чисел данного набора. Итак, 
а) Да, может. Такой набор содержит 13 единиц, 17 двоек и 3, 4, 5. Для него, очевидно,
Наводящее соображение очень простое. Если есть ровно 13 единиц и 3, 4, 5, то оставшиеся 17 вакансий заполняются как минимум двойками. Вот и возьмём набор с этими 17-ю двойками! Ясно, что максимальная сумма S получится, если в качестве слагаемых взять 3, 4, 5 и все двойки, добрав остаток единицами.
б) Предположим, что набор содержит k единиц 
Остальные 30 − k чисел набора (помимо 3, 4, 5) назовём вакантными. Вакантных чисел, стало быть, не менее 18, и каждое вакантное число не меньше 2.
Таким образом, наш набор содержит 3, 4, 5 и восемнадцать чисел, не меньших 2; остальные числа набора не меньше 1. Для максимальной суммы S тогда получаем:
Данное неравенство показывает, что набор не может содержать менее 13 единиц.
в) Заметим сразу, что если набор содержит не менее 16 единиц, то 
Поэтому остаётся разобрать случаи, когда количество k единиц в наборе менее 16.
Остальные 30 − k чисел (помимо 3, 4, 5) продолжаем называть вакантными.
При k = 13. Легко видеть, что набор, предъявленный в пункте а), оказывается единственным набором с ровно тринадцатью единицами. В самом деле, для любого другого такого набора сумма 17-ти вакантных чисел будет больше 
и сумма S станет больше 53. А для предъявленного набора имеем: 
При k = 14 или k = 15. Заметим, что среди вакантных чисел обязательно найдётся двойка. В самом деле, иначе все вакантные числа (которых, соответственно, 16 или 15) будут не меньше 3, и тогда их сумма окажется как минимум 
что противоречит условию.
Остаётся взять 14 единиц и эту двойку: 
Доказательство закончено.
Ответ: а) да; б) нет.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |