а)  При­ведём при­мер гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии из четырёх чле­нов: взяв и по­лу­чим

б)  До­ка­жем, что про­грес­сии из пяти чле­нов, удо­вле­тво­ря­ю­щей усло­вию за­да­чи, не су­ще­ству­ет.

Пред­по­ло­жим, такая по­сле­до­ва­тель­ность есть. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти она воз­рас­та­ет; пусть её зна­ме­на­тель есть где m и k  — вза­им­но про­стые на­ту­раль­ные числа. Тогда:

Так как m и k вза­им­но про­сты, де­лит­ся на а зна­чит, от­ку­да Так как Но k  — целое, по­это­му От­сю­да

По­это­му

что про­ти­во­ре­чит тре­бо­ва­нию за­да­чи.

Ответ: а) да. б) нет.