Числа вида будем на­зы­вать за­прещёнными. Вот на­ча­ло по­сле­до­ва­тель­но­сти за­прещённых чисел: 1, 3, 6, 10, 15, ...

Пусть a и d  — пер­вый член и раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Так как число 1 за­прещённое, то a > 1. Так как члены про­грес­сии  — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа, то d > 0.

Если d  =  1, то про­грес­сия будет со­дер­жать за­прещённое число  — на­при­мер, 10. Если d  =  2, то про­грес­сия также будет со­дер­жать за­прещённое число  — на­при­мер, 10 для чётного a и 15

для нечётного a. Стало быть,

Сумма S пер­вых 10 чле­нов про­грес­сии равна:

С учётом по­лу­чен­ных не­ра­венств имеем оцен­ку:

Ниж­нее зна­че­ние 155 нашей оцен­ки ре­а­ли­зу­ет­ся для про­грес­сии с a  =  2 и d  =  3 (то есть для про­грес­сии 2, 5, 8, ...). Остаётся по­ка­зать, что эта про­грес­сия не со­дер­жит за­прещённых чисел.

Под но­ме­ром k в дан­ной про­грес­сии идёт число Нам нужно до­ка­зать, что ра­вен­ство

не­воз­мож­но ни при каких k и n. Пе­ре­пи­шем это ра­вен­ство в виде:

Число n при де­ле­нии на 3 может да­вать остат­ки 0, 1 или 2. Рас­смот­рим от­дель­но каж­дый из этих слу­ча­ев.

1.  

2.  

3.  

Всюду имеем про­ти­во­ре­чие: левая часть 6k де­лит­ся на 3, а пра­вая часть на 3 не де­лит­ся (оста­ток 2 в пер­вом и тре­тьем слу­ча­ях, оста­ток 1 во вто­ром слу­чае).

Таким об­ра­зом, про­грес­сия 2, 5, 8, ... дей­стви­тель­но не со­дер­жит за­прещённых чисел. По­сколь­ку для неё S  =  155, то 155  — наи­мень­шее зна­че­ние ве­ли­чи­ны S.

Ответ: 155.