PDF-версии: 
Бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из различных натуральных чисел, первый член которой меньше 10, не содержит ни одного числа вида 
Какое наименьшее значение может принимать сумма первых 10 членов этой прогрессии?
Решение. Числа вида 
будем называть запрещёнными. Вот начало последовательности запрещённых чисел: 1, 3, 6, 10, 15, ...
Пусть a и d — первый член и разность арифметической прогрессии. Так как число 1 запрещённое, то a > 1. Так как члены прогрессии — различные натуральные числа, то d > 0.
Если d = 1, то прогрессия будет содержать запрещённое число — например, 10. Если d = 2, то прогрессия также будет содержать запрещённое число — например, 10 для чётного a и 15
для нечётного a. Стало быть, 
Сумма S первых 10 членов прогрессии равна:
С учётом полученных неравенств имеем оценку:
Нижнее значение 155 нашей оценки реализуется для прогрессии с a = 2 и d = 3 (то есть для прогрессии 2, 5, 8, ...). Остаётся показать, что эта прогрессия не содержит запрещённых чисел.
Под номером k в данной прогрессии идёт число 
Нам нужно доказать, что равенство
невозможно ни при каких k и n. Перепишем это равенство в виде:
Число n при делении на 3 может давать остатки 0, 1 или 2. Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.
1. 
2. 
3. 
Всюду имеем противоречие: левая часть 6k делится на 3, а правая часть на 3 не делится (остаток 2 в первом и третьем случаях, остаток 1 во втором случае).
Таким образом, прогрессия 2, 5, 8, ... действительно не содержит запрещённых чисел. Поскольку для неё S = 155, то 155 — наименьшее значение величины S.
Ответ: 155.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |