РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 485997 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Прямая четырехугольная призма, Деление отрезка, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Угол между плоскостями

Стереометрическая задача. Угол между плоскостями

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁  — прямоугольник ABCD, в котором AB  =  5, $AD= корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$

а)  Докажите, что расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно расстоянию между прямыми BD и $A_1D_1.$

б)  Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно  $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Решение. а)  Основания любой призмы лежат в параллельных плоскостях. Поэтому расстояние между прямыми, одна из которых лежит на плоскости одного основания, а другая на плоскости другого основания, равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Поэтому требуемые расстояния равны.

б)  Из пункта а) следует, что высота призмы равна $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Следовательно, искомый угол равен углу между ребром $DD_1$ и прямой $BD_1.$

Рассмотрим треугольник $BDD_1.$ Его катеты равны $DD_1=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $BD= корень из: начало аргумента: AB в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс AD в квадрате правая круглая скобка =6.$ Поэтому

$\angle BD_1D= арктангенс дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = арктангенс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 60 $в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 60 $в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

485997

60 $в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	485997	60 $в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$