РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500409 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений новая строка \dfrac8 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 5 умножить на 0,5 в степени x 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка \dfrac1x плюс \dfrac2x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0. конец системы .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $y=2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , y больше 0.$

$\dfracy в кубе минус 5yy минус \dfrac16y больше или равно 0 равносильно \dfracy в квадрате левая круглая скобка y в квадрате минус 5 правая круглая скобка y в квадрате минус 16 больше или равно 0 равносильно \dfrac левая круглая скобка y минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка 0\leqslant|y| меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , новая строка |y| больше 4. конец совокупности .$ $\dfracy в кубе минус 5yy минус \dfrac16y больше или равно 0 равносильно \dfracy в квадрате левая круглая скобка y в квадрате минус 5 правая круглая скобка y в квадрате минус 16 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно \dfrac левая круглая скобка y минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка 0\leqslant|y| меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , новая строка |y| больше 4. конец совокупности .$

Учитывая, что $y=2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше 0,$ получаем $0 меньше 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$ или $2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка больше 4,$ откуда находим множество решений первого неравенства системы: $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2.  Решим второе неравенство системы: $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1.$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $x в квадрате больше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше x плюс 2 меньше или равно x в квадрате равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус x минус 2 больше или равно 0, новая строка x плюс 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x плюс 2 больше 0. конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше x плюс 2 меньше или равно x в квадрате равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус x минус 2 больше или равно 0, новая строка x плюс 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x плюс 2 больше 0. конец системы .$

Откуда, учитывая условие $x в квадрате больше 1,$ получаем: $минус 2 меньше x меньше минус 1$ или $x больше или равно 2.$

Второй случай: $0 меньше x в квадрате меньше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно x плюс 2 больше или равно x в квадрате равносильно x в квадрате минус x минус 2 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно x плюс 2 больше или равно x в квадрате равносильно x в квадрате минус x минус 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2.$

Учитывая условие $0 меньше x в квадрате меньше 1,$ получаем: $минус 1 меньше x меньше 0$ или $0 меньше x меньше 1.$

Множество решений второго неравенства исходной системы: $левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

3.  Учитывая, что $минус 2 меньше минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5 меньше минус 1,$ получаем множество решений исходной системы неравенств: $левая квадратная скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верны ответ в одном из неравенств системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

500409

$левая квадратная скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500409	$левая квадратная скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$