РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500449 Добавить в вариант

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств $система выражений 3 умножить на 9 в степени x минус 28 умножить на 3 в степени x плюс 9 меньше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1. конец системы .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $y=3 в степени x .$

$3y в квадрате минус 28y плюс 9 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 3y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 9 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно y меньше или равно 9.$

Тогда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 3 в степени x меньше или равно 9,$ откуда находим решение первого неравенства системы: $минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2.$

2.  Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай: $x в квадрате больше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно x в квадрате равносильно 2x минус 1 больше или равно 0 равносильно x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Учитывая условие $x в квадрате больше 1,$ получаем: $x больше 1.$

Второй случай: $0 меньше x в квадрате меньше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно x в квадрате равносильно 2x минус 1 меньше или равно 0 равносильно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Учитывая условие $0 меньше x в квадрате меньше 1,$ получаем $левая круглая скобка минус 1,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение второго неравенства системы: $левая круглая скобка минус 1,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Пересекая решения неравенств, получаем решение системы.

Ответ: $левая круглая скобка минус 1,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1,2 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы	2
Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0	0
Максимальный балл	3

Ключ