РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д11 C3 № 500469 Добавить в вариант

Простые системы неравенств. Системы с логарифмами по переменному основанию

Решите систему неравенств

$левая фигурная скобка \beginmatrix 3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 28 умножить на 3 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 9 меньше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1. \endmatrix .$

Решение. 1.  Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $y = 3 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка .$

$3y в квадрате минус 28y плюс 9 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 3y минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 9 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно y меньше или равно 9.$

Тогда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно 9,$ откуда находим решение первого неравенства системы: $минус 2 меньше или равно x меньше или равно 1.$

2.  Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай: $x в квадрате больше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно x в квадрате равносильно 2x плюс 1 меньше или равно 0 равносильно x меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Учитывая условие $x в квадрате больше 1,$ получаем: $x меньше минус 1.$

Второй случай: $0 меньше x в квадрате меньше 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно x в квадрате равносильно 2x плюс 1 больше или равно 0 равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Учитывая условие $0 меньше x в квадрате меньше 1,$ получаем: $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0;$ $0 меньше x меньше 1.$

Решение второго неравенства системы:

$x меньше минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0; 0 меньше x меньше 1.$

3.  Решение исходной системы неравенств:

$минус 2 меньше x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0, 0 меньше x меньше 1.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 2, минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

500469

$левая квадратная скобка минус 2, минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	500469	$левая квадратная скобка минус 2, минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка .$