РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 501396 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Прямоугольный параллелепипед, Расстояние от точки до прямой

Стереометрическая задача. Расстояние между точками, от точки до прямой

Длины ребер AB, AA₁ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 12, 16 и 15.

а)  Докажите, что расстояние от вершины $D_1$ до прямой $A_1B$ больше, чем расстояние от вершины A₁ до прямой BD₁.

б)  Найдите расстояние от вершины A₁ до прямой BD₁.

Решение. а)  Опустим из точки $A_1$ перпендикуляр $A_1E$ на прямую $BD_1.$ $A_1D_1 \perp левая круглая скобка A_1AB правая круглая скобка ,$ поэтому $A_1D_1 \perp A_1B,$ а значит, отрезок $A_1E$ ― высота прямоугольного треугольника $A_1BD_1.$ В то же время $A_1D_1$   — катет этого треугольника. Поэтому $A_1D_1 больше A_1E.$

б)  Отрезок $A_1E$ ― высота прямоугольного треугольника $A_1BD_1,$ откуда $A_1E= дробь: числитель: A_1B умножить на A_1D_1, знаменатель: BD_1 конец дроби .$ Далее находим:

$A_1B= корень из: начало аргумента: A_1A в квадрате плюс AB в квадрате конец аргумента =20,$

$BD_1= корень из: начало аргумента: A_1A в квадрате плюс AB в квадрате плюс A_1D_1 в квадрате конец аргумента =25,$

$A_1E= дробь: числитель: 20 умножить на 15, знаменатель: 25 конец дроби =12.$

Ответ: 12.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 12.

501396

12.

Классификатор стереометрии: Прямоугольный параллелепипед, Расстояние от точки до прямой

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	501396	12.