РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 504568 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Уравнение с модулем, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях

Задача с параметром. Использование симметрий

Найдите все значения параметра $а,$ при каждом из которых уравнение

$| левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 2 в степени левая круглая скобка минус a минус 1 правая круглая скобка | плюс |x плюс 1| плюс левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в квадрате плюс 2 в степени левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка =0,25 плюс 4 в степени a$

имеет единственное решение.

Найдите это решение для каждого значения $a.$

Решение. Пусть число x  — решение данного уравнения при некотором значении параметра $а.$ Тогда число $левая круглая скобка минус 2 минус x правая круглая скобка$ есть его решение при том же значении $а.$ Если решение единственно, то решения $левая круглая скобка минус 2 минус x правая круглая скобка$ и x совпадают, то есть

$левая круглая скобка минус 2 минус x правая круглая скобка = x равносильно x = минус 1.$

Подставив это решение в исходное уравнение, получим:

$2 в степени левая круглая скобка минус a минус 1 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка =0,25 плюс 4 в степени a равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка конец дроби плюс 2 в степени левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка =0,25 плюс 4 в степени a равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$

откуда $a=1.$

Пусть $a = 1.$ Тогда исходное уравнение примет вид

$| левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 0,25| плюс |x плюс 1|=0,25 минус левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в квадрате .$

Отсюда следует, что $0,25 минус левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0,$ следовательно,

$| левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 0,25|=0,25 минус левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в квадрате .$

Исходное уравнение принимает вид $|x плюс 1| = 0,$ и оно имеет единственное решение $x = минус 1,$ удовлетворяющее условию $0,25 минус левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0.$ Следовательно, $a = 1$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: при $a=1$ единственное решение $x= минус 1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения найдено значение а. Доказано отсутствие других возможных значений а. Получено неверное значение x из-за вычислительной ошибки.	3
С помощью верного рассуждения найдено значение а и получено соответствующее значение x. Не обосновано отсутствие других решений.	2
Верно найдено значение а; возможно, имеются посторонние решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

504568

при $a=1$ единственное решение $x= минус 1.$

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Уравнение с модулем, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	504568	при $a=1$ единственное решение $x= минус 1.$