№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д7 C2 № 505587

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 1. Объем пирамиды равен  дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 3 . Через сторону основания CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол, образованный боковой гранью SCD и основанием. Найдите площадь сечения.

Решение.

Двугранный угол измеряется линейным углом, который находится, как угол между перпендикулярами, проведенными в каждой из плоскостей к общей линии пересечения. Построим в грани SCD апофему SL: так как пирамида SABCD правильная, то боковая грань является равнобедренным треугольником, поэтому апофема (являющаяся высотой) падает в середину стороны основания CD. В основании пирамиды проведем отрезок LK (KAB), перпендикулярный стороне CD (то есть параллельно сторонам AD и BC). Полученный угол ∠SLK является искомым линейным углом.

Из построения ясно, что стороны сечения DM и CN равны (отрезки, проведенные в равных треугольниках), полученное сечение является равнобедренной трапецией DMNC. Значит, чтобы найти ее площадь, удобнее всего найти ее основание MN и высоту PL.

Из формулы для объема пирамиды найдем высоту пирамиды:

V = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 Sh равносильно h = дробь, числитель — 3V, знаменатель — S = корень из { 2}

Площадь основания S = 12 = 1.

Тогда из прямоугольного треугольника SOL по теореме Пифагора получим:

 h_a = SL = корень из { SO в степени 2 плюс OL в степени 2 } = корень из { 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 } = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .

Из треугольника SKL по теореме косинусов получаем:

 косинус \angle S = дробь, числитель — SK в степени 2 плюс SL в степени 2 минус KL в степени 2 , знаменатель — 2 умножить на SK умножить на SL = дробь, числитель — левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая круглая скобка в степени 2 плюс левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая круглая скобка в степени 2 минус 1 в степени 2 , знаменатель — { 2 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая фигурная скобка = дробь, числитель — 7, знаменатель — 9 .

Далее, по свойству биссектрисы имеем SP : SL = KP : KL; обозначив SP за x, получим:

 дробь, числитель — x, знаменатель — дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 = дробь, числитель — дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 минус x, знаменатель — 1 равносильно дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 x плюс x = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 равносильно x = 0,9.

Значит SP = 0,9; PK = 0,6.

По теореме косинусов для треугольника SPL получаем, что  PL в степени 2 = SP в степени 2 плюс SL в степени 2 минус 2 умножить на SP умножить на SL умножить на косинус \angle S , то есть

PL в степени 2 = 0,9 в степени 2 плюс 1,5 в степени 2 минус 2 умножить на 0,9 умножить на 1,5 умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 9 = 0,81 плюс 2,25 минус 2,1 = 0,96 = дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 \Rightarrow PL = дробь, числитель — 2 корень из { 6}, знаменатель — 5 .

Теперь рассмотрим SAB: MN || AB, откуда \triangle{SAB}\sim \triangle{SMN} (по 3-м углам).

 

Тогда  дробь, числитель — MN, знаменатель — AB = дробь, числитель — SP, знаменатель — SK , откуда MN = дробь, числитель — 0,9, знаменатель — 1,5 = 0,6.

 

Итак, площадь сечения равна:

S_{DMNC} = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (DC плюс MN) PL = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (1 плюс 0,6) дробь, числитель — 2 корень из { 6}, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 8 корень из { 6}, знаменатель — 25 .

 

Ответ: S = дробь, числитель — 8 корень из { 6}, знаменатель — 25 .