СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505587

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 1. Объем пирамиды равен Через сторону основания CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол, образованный боковой гранью SCD и основанием. Найдите площадь сечения.

Решение.

Двугранный угол измеряется линейным углом, который находится, как угол между перпендикулярами, проведенными в каждой из плоскостей к общей линии пересечения. Построим в грани SCD апофему SL: так как пирамида SABCD правильная, то боковая грань является равнобедренным треугольником, поэтому апофема (являющаяся высотой) падает в середину стороны основания CD. В основании пирамиды проведем отрезок LK (KAB), перпендикулярный стороне CD (то есть параллельно сторонам AD и BC). Полученный угол ∠SLK является искомым линейным углом.

Из построения ясно, что стороны сечения DM и CN равны (отрезки, проведенные в равных треугольниках), полученное сечение является равнобедренной трапецией DMNC. Значит, чтобы найти ее площадь, удобнее всего найти ее основание MN и высоту PL.

Из формулы для объема пирамиды найдем высоту пирамиды:

Площадь основания S = 12 = 1.

Тогда из прямоугольного треугольника SOL по теореме Пифагора получим:

Из треугольника SKL по теореме косинусов получаем:

Далее, по свойству биссектрисы имеем SP : SL = KP : KL; обозначив SP за x, получим:

Значит SP = 0,9; PK = 0,6.

По теореме косинусов для треугольника SPL получаем, что , то есть

Теперь рассмотрим SAB: MN || AB, откуда (по 3-м углам).

 

Тогда , откуда

 

Итак, площадь сечения равна:

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.
Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение -- трапеция