№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д12 C4 № 505957

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.

Решение.

В данной задаче имеется неоднозначность в выборе варианта буквенного обозначения вершин трапеции, а также в выборе большего основания.

В этой связи возможны следующие случаи:

Случай 1 (рис.1).

Основания трапеции ВС и АD. \Delta BEC~\Delta DEA, k= дробь, числитель — BE, знаменатель — DE = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 .

Следовательно,  дробь, числитель — S(DEA), знаменатель — S(BEC) ={{3} в степени 2 }=9. Значит, S(BEC)= дробь, числитель — S(DEA), знаменатель — 9 =1.

Теперь рассмотрим треугольники ABE и CBE. Они имеют общую высоту, проведенную к сторонам АЕ и СЕ соответственно. Следовательно, их площади относятся как 3 : 1.

Отсюда S(ABE)=3. Треугольники АСD и АВD также равновелики как имеющие одно и тоже основание АD и равные высоты, проведенные к этой стороне.

S(АСD) – S(ADE) = S(АBD) – S(ADE); S(СDE) = S(АBE) =3.

Таким образом, S(ABCD) = 9 + 1 + 3 + 3 = 16.

Случай 2 (рис.2).

Основания трапеции и AB. Как было показано выше, но с учетом других обозначений получим, что S(BCE)=S(AED). Значит, S(BCE)=9.

Аналогично со случаем 1 будем иметь:

S(СDE) = 3S(АDE) =3 умножить на 9=27,S(BEA)= дробь, числитель — S(CDE), знаменатель — 9 = дробь, числитель — 27, знаменатель — 9 =3.

S(ABCD)=9 плюс 9 плюс 27 плюс 3=48.

Случай 3 (рис.3).

Основания трапеции и BA. Трапеции BCDAи DABC симметричны относительно прямой, проходящей через середины их оснований. Следовательно, как и в случае 3,S(ABCD)=9 плюс 9 плюс 27 плюс 3=48.

Случай 4 (рис.4).

Основания трапеции и BA. Как и в предыдущих случаях:

S(CED)=S(BEA)=3S(DAE),S(BEC)=9S(DAE).

По условию S(DAE)=9.

Значит,

S(CED)=S(BEA)=3 умножить на 9=27,S(BEC)=9 умножить на 9=81.

S(ABCD)=27 плюс 27 плюс 9 плюс 81=144.

 

Ответ: 16; 48; 144.