РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 505997 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 26

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Правильная треугольная призма

Сложная стереометрия. Круглые тела

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, AC  =  6, AA₁ = 8. Через вершину A проведена плоскость, пересекающая ребра BB₁ и CC₁ соответственно в точках M и N. Найти, в каком отношении эта плоскость делит объем призмы, если известно, что BM  =  MB₁, а AN является биссектрисой угла CAC₁.

Решение. Пусть $альфа =\angle NAC,$ тогда $тангенс \angle C_1AC= дробь: числитель: 2 тангенс альфа , знаменатель: 1 минус тангенс в квадрате альфа конец дроби равносильно тангенс альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $CN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC=3.$

Объем призмы $V_ABCA_1B_1C_1=S_ABC умножить на AA_1= дробь: числитель: 6 в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на 8=72 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;$

В пирамиде ACNMB основанием является трапеция CNMB, $S_осн= дробь: числитель: AN плюс BM, знаменатель: 2 конец дроби умножить на BC= дробь: числитель: 3 плюс 4, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6=21.$

Высота пирамиды h  — расстояние от точки A до плоскости CNB, $h=AC умножить на синус 60 градусов=6 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Тогда $V_ACNMB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S_осн умножить на h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 21 умножить на 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =21 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Объем оставшейся части $V_A_1B_1C_1ANM=V_ABCA_1B_1C_1 минус V_ACNMB=72 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 21 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =51 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Поэтому отношение объемов частей равно $дробь: числитель: 21 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 51 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 17 конец дроби .$

Примечание. Можно доказать, что ответ для плоскости, пересекающей боковые ребра $AA_1,BB_1,C_1$ в точках K, M, N соответственно, будет $дробь: числитель: AK плюс BM плюс CN, знаменатель: A_1K плюс B_1M плюс C_1N конец дроби .$ В нашей задаче K совпадает с A и ответ $дробь: числитель: 0 плюс 4 плюс 3, знаменатель: 8 плюс 4 плюс 5 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 7, знаменатель: 17 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: $дробь: числитель: 7, знаменатель: 17 конец дроби .$

505997

$дробь: числитель: 7, знаменатель: 17 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 26

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Правильная треугольная призма

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505997	$дробь: числитель: 7, знаменатель: 17 конец дроби .$