PDF-версии: 
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение. Короткое решение этой задачи приведено в задании 503256.
Приведем непосредственное вычисление.
Преобразуем заданное уравнение:
откуда получаем:
Поскольку 
должна быть справедлива оценка
Разобьем это неравенство на две системы неравенств:
Заметим, что 
для каждого 
так как 
Рассмотрим систему (1), решим первое её неравенство:
Решим второе неравенство:
Решением системы неравенств (1) является множество 
Рассмотрим систему (2), решим первое неравенство:
Решим второе неравенство этой системы:
Итак, решением системы (2) является множество 
Ответ: 
Решим задачу с помощью исследования расположения корней квадратного трехчлена.
Имеем: 
Введем новую переменную: пусть 
Тогда 
Как было показано выше, дискриминант квадратного трехчлена относительно t при всех 
положителен. Ветви параболы, т. е., графика функции 
направлены вверх.
Найдем значения a, при которых 
Их удобно искать, решив 3 системы неравенств. Положим 
число 
— абсцисса вершины параболы.
Случай 1: 
откуда получаем:
Полученная система несовместна.
Случай 2: 
Тогда:
Система несовместна.
Случай 3: 
Находим:
Таким образом, 
только при 
Поскольку при остальных значениях квадратный трехчлен относительно t будет иметь хотя бы один действительный корень, удовлетворяющий условию 
то искомым множеством значений а будет множество 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |