Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 503256

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

(4 косинус x минус 3 минус a) умножить на косинус x минус 2,5 косинус 2x плюс 1,5 = 0

имеет хотя бы один корень.

Спрятать решение

Решение.

Запишем исходное уравнение в виде  косинус в степени 2 x плюс (3 плюс a) косинус x минус 4=0.

Пусть t = cosx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение t в степени 2 плюс (3 плюс a)t минус 4=0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции f(t)=t в степени 2 плюс (3 плюс a)t минус 4 является парабола, ветви которой направлены вверх, f(0)= минус 4 меньше 0,

следовательно, уравнение f(t)=0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии f( минус 1)\geqslant 0 (рис. 1) 1 минус (3 плюс a) минус 4\geqslant 0, откуда a\leqslant минус 6, либо при условии f(1)\geqslant 0 (рис. 2) 1 плюс (3 плюс a) минус 4\geqslant 0, откуда a\geqslant 0.

 

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 6]\cup[0; плюс принадлежит fty ).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Восток. Вариант 1., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013
Методы алгебры: Введение замены