ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 17 № 503256 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$(4 косинус x минус 3 минус a) умножить на косинус x минус 2,5 косинус 2x плюс 1,5 = 0$

имеет хотя бы один корень.

Спрятать решение

Решение.

Запишем исходное уравнение в виде $косинус в степени 2 x плюс (3 плюс a) косинус x минус 4=0.$

Пусть t = cosx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение $t в степени 2 плюс (3 плюс a)t минус 4=0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции $f(t)=t в степени 2 плюс (3 плюс a)t минус 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, $f(0)= минус 4 меньше 0,$

следовательно, уравнение $f(t)=0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии $f( минус 1)\geqslant 0$ (рис. 1) $1 минус (3 плюс a) минус 4\geqslant 0,$ откуда $a\leqslant минус 6,$ либо при условии $f(1)\geqslant 0$ (рис. 2) $1 плюс (3 плюс a) минус 4\geqslant 0,$ откуда $a\geqslant 0.$

Ответ: $( минус принадлежит fty; минус 6]\cup[0; плюс принадлежит fty ).$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Восток. Вариант 1., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013

Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена

Методы алгебры: Введение замены

Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь