РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 507472 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство: $9 логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка \leqslant10 плюс логарифм по основанию 7 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 9 , знаменатель: x плюс 2 конец дроби .$

Решение. Найдём значения x, при которых определены обе части неравенства:

$система выражений x в квадрате плюс x минус 2 больше 0, дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 9 , знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше 0, дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 9 , знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x меньше минус 2, новая строка x больше 1. конец совокупности .$

Для таких x получаем:

$9 логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 9 , знаменатель: x плюс 2 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в степени 9 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 9 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 9 конец дроби \undersetОДЗ\mathop равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$ $9 логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 9 , знаменатель: x плюс 2 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в степени 9 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 9 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 9 конец дроби \undersetОДЗ\mathop равносильно$
$\undersetОДЗ\mathop равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$

Тогда исходное неравенство примет вид: $логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка меньше или равно 10.$ Учитывая, что неравенство определено на множестве $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ имеем:

$5 логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 10 равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 7 в квадрате равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка меньше или равно 0\undersetОДЗ\mathop равносильно совокупность выражений минус 9 меньше или равно x меньше минус 2, 1 меньше x меньше или равно 5. конец совокупности$ $5 логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 10 равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 7 в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка меньше или равно 0\undersetОДЗ\mathop равносильно совокупность выражений минус 9 меньше или равно x меньше минус 2, 1 меньше x меньше или равно 5. конец совокупности$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 9; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;5 правая квадратная скобка$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507472

$левая квадратная скобка минус 9; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;5 правая квадратная скобка$