ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 507472 Добавить в вариант

Решите неравенство: $9 логарифм по основанию 7 (x в квадрате плюс x минус 2)\leqslant10 плюс логарифм по основанию 7 дробь: числитель: (x минус 1) в степени 9 , знаменатель: x плюс 2 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Найдём значения x, при которых определены обе части неравенства:

$система выражений x в квадрате плюс x минус 2 больше 0, дробь: числитель: (x минус 1) в степени 9 , знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений (x плюс 2)(x минус 1) больше 0, дробь: числитель: (x минус 1) в степени 9 , знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x меньше минус 2, новая строка x больше 1. конец совокупности .$

Для таких x получаем:

$9 логарифм по основанию (7) (x плюс 2)(x минус 1) минус логарифм по основанию (7) дробь: числитель: (x минус 1) в степени 9 , знаменатель: x плюс 2 конец дроби = логарифм по основанию (7) дробь: числитель: (x плюс 2) в степени 9 (x минус 1) в степени 9 (x плюс 2), знаменатель: (x минус 1) в степени 9 конец дроби \undersetОДЗ\mathop равносильно логарифм по основанию (7) (x плюс 2) в степени (10) .$

Тогда исходное неравенство примет вид: $логарифм по основанию (7) (x плюс 2) в степени (10) меньше или равно 10.$ Учитывая, что неравенство определено на множестве $( минус принадлежит fty; минус 2)\cup (1; плюс принадлежит fty ),$ имеем:

$5 логарифм по основанию (7) (x плюс 2) в квадрате меньше или равно 10 равносильно (x плюс 2) в квадрате меньше или равно 7 в квадрате равносильно (x минус 5)(x плюс 9) меньше или равно 0\undersetОДЗ\mathop равносильно совокупность выражений минус 9 меньше или равно x меньше минус 2, 1 меньше x меньше или равно 5. конец совокупности$

Ответ: $[ минус 9; минус 2)\cup(1;5]$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.2 Рациональные неравенства, 2.2.4 Логарифмические неравенства, 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Игорь Саенко 07.05.2017 14:39

Мы ведь могли (в последней строчке) сделать множителем логарифма сразу 10, тогда бы и не было икса x=9. Исходя из каких волшебных выводов, вы часто поступаете нетривиально, нелогично непросто, и попадаете в яблочко?! Меня сильно волнует это. Так как(уверен) многие бы вынесли именно "10, а не "5*2" и упустили бы корень 9. Заранее спасибо! Надеюсь, откроете тайну вселенной!

Константин Лавров

Никакой тайны вселенной тут нет. Нужно следить за тем, чтобы преобразования были эквивалентными. То, о чем пишете Вы таковым не является, а является очень грубой ошибкой.

Марианна 18.10.2017 15:18

просьба, проверить данный ответ,комментарий был по делу, а Вы ссылаетесь на эквивалентность, которая противоречит свойству...

Александр Иванов

По свойству: $логарифм по основанию a x в степени (10) = 10 логарифм по основанию a |x|$ , а не так как рассуждал автор вопроса. И тогда никакие "корни" не теряются. Если любите работать с модулями, можете решать, используя это свойство. А можно как в решении вынести 5 и оставить под логарифмом квадрат и тогда никаких модулей.