Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507708

Решите неравенство:  логарифм по основанию 2 (x в квадрате минус 4) минус 3 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 2.

Спрятать решение

Решение.

Область определения состоит из двух промежутков: либо x больше 2, либо x меньше минус 2. На каждом из них логарифм частного можно представить в виде разности логарифмов.

Если x больше 2, то:

 логарифм по основанию 2 (x плюс 2) плюс логарифм по основанию 2 (x минус 2) минус 3 логарифм по основанию 2 (x плюс 2) плюс 3 логарифм по основанию 2 (x минус 2) больше 2 равносильно логарифм по основанию 2 (x плюс 2) минус 2 логарифм по основанию 2 (x минус 2) меньше минус 1 равносильно

 равносильно логарифм по основанию 2 2(x плюс 2) меньше логарифм по основанию 2 (x минус 2) в квадрате равносильно 2x плюс 4 меньше (x минус 2) в квадрате равносильно x в квадрате минус 6x больше 0 равносильно x(x минус 6) больше 0 равносильно совокупность выражений x меньше 0, x больше 6. конец совокупности .

Учитывая, что x больше 2, получаем: x больше 6.

Если x меньше минус 2, то:

 логарифм по основанию 2 ( минус x минус 2) плюс логарифм по основанию 2 ( минус x плюс 2) минус 3 логарифм по основанию 2 ( минус x минус 2) плюс 3 логарифм по основанию 2 ( минус x плюс 2) больше 2 равносильно логарифм по основанию 2 ( минус x минус 2) минус 2 логарифм по основанию 2 (2 минус x) меньше минус 1 равносильно

 равносильно логарифм по основанию 2 2( минус x минус 2) меньше логарифм по основанию 2 (2 минус x) в квадрате равносильно минус 2x минус 4 меньше (2 минус x) в квадрате равносильно x в квадрате минус 2x плюс 8 больше 0.

Полученное неравенство выполняется при всех x.

Таким образом, решение исходного неравенства: ( минус принадлежит fty; минус 2)\cup(6; плюс принадлежит fty).

 

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 2)\cup(6; плюс принадлежит fty).

 

 

Приведем другое решение.

Внесём 3 под знак логарифма и используем формулу разности логарифмов:

 логарифм по основанию 2 (x в квадрате минус 4) минус 3 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 2 равносильно логарифм по основанию 2 (x в квадрате минус 4) минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби правая круглая скобка в кубе больше 2 равносильно

 равносильно система выражений логарифм по основанию 2 дробь: числитель: (x минус 2) в степени 4 (x плюс 2), знаменатель: (x плюс 2) в кубе конец дроби больше 2,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: (x минус 2) в степени 4 , знаменатель: (x плюс 2) в квадрате конец дроби больше 4,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: (x минус 2) в степени 4 минус 4(x плюс 2) в квадрате , знаменатель: (x плюс 2) в квадрате конец дроби больше 0,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно

 равносильно система выражений дробь: числитель: (x в квадрате минус 6x)(x в квадрате минус 2x плюс 8), знаменатель: (x плюс 2) в квадрате конец дроби больше 0,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 2,x больше 6 конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 2)\cup(6; плюс принадлежит fty).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Методы алгебры: Метод интервалов