ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 507708 Добавить в вариант

Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 (x в квадрате минус 4) минус 3 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 2.$

Спрятать решение

Решение.

Область определения состоит из двух промежутков: либо $x больше 2,$ либо $x меньше минус 2.$ На каждом из них логарифм частного можно представить в виде разности логарифмов.

Если $x больше 2,$ то:

$логарифм по основанию 2 (x плюс 2) плюс логарифм по основанию 2 (x минус 2) минус 3 логарифм по основанию 2 (x плюс 2) плюс 3 логарифм по основанию 2 (x минус 2) больше 2 равносильно логарифм по основанию 2 (x плюс 2) минус 2 логарифм по основанию 2 (x минус 2) меньше минус 1 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 2 2(x плюс 2) меньше логарифм по основанию 2 (x минус 2) в квадрате равносильно 2x плюс 4 меньше (x минус 2) в квадрате равносильно x в квадрате минус 6x больше 0 равносильно x(x минус 6) больше 0 равносильно совокупность выражений x меньше 0, x больше 6. конец совокупности .$

Учитывая, что $x больше 2,$ получаем: $x больше 6.$

Если $x меньше минус 2,$ то:

$логарифм по основанию 2 ( минус x минус 2) плюс логарифм по основанию 2 ( минус x плюс 2) минус 3 логарифм по основанию 2 ( минус x минус 2) плюс 3 логарифм по основанию 2 ( минус x плюс 2) больше 2 равносильно логарифм по основанию 2 ( минус x минус 2) минус 2 логарифм по основанию 2 (2 минус x) меньше минус 1 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 2 2( минус x минус 2) меньше логарифм по основанию 2 (2 минус x) в квадрате равносильно минус 2x минус 4 меньше (2 минус x) в квадрате равносильно x в квадрате минус 2x плюс 8 больше 0.$

Полученное неравенство выполняется при всех $x.$

Таким образом, решение исходного неравенства: $( минус принадлежит fty; минус 2)\cup(6; плюс принадлежит fty).$

Ответ: $( минус принадлежит fty; минус 2)\cup(6; плюс принадлежит fty).$

Приведем другое решение.

Внесём 3 под знак логарифма и используем формулу разности логарифмов:

$логарифм по основанию 2 (x в квадрате минус 4) минус 3 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 2 равносильно логарифм по основанию 2 (x в квадрате минус 4) минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби правая круглая скобка в кубе больше 2 равносильно$

$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 дробь: числитель: (x минус 2) в степени 4 (x плюс 2), знаменатель: (x плюс 2) в кубе конец дроби больше 2,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: (x минус 2) в степени 4 , знаменатель: (x плюс 2) в квадрате конец дроби больше 4,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: (x минус 2) в степени 4 минус 4(x плюс 2) в квадрате , знаменатель: (x плюс 2) в квадрате конец дроби больше 0,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: (x в квадрате минус 6x)(x в квадрате минус 2x плюс 8), знаменатель: (x плюс 2) в квадрате конец дроби больше 0,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 2,x больше 6 конец совокупности .$

Ответ: $( минус принадлежит fty; минус 2)\cup(6; плюс принадлежит fty).$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства, 2.2.9 Метод интервалов, 2.2.2 Рациональные неравенства

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь