РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 507708 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов;

2.2.2 Рациональные неравенства.

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 2.$

Решение. Область определения состоит из двух промежутков: либо $x больше 2,$ либо $x меньше минус 2.$ На каждом из них логарифм частного можно представить в виде разности логарифмов.

Если $x больше 2,$ то:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 2 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше минус 1 равносильно$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше минус 1 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 2 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно 2x плюс 4 меньше левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате минус 6x больше 0 равносильно x левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений x меньше 0, x больше 6. конец совокупности .$ $равносильно логарифм по основанию 2 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно 2x плюс 4 меньше левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 6x больше 0 равносильно x левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений x меньше 0, x больше 6. конец совокупности .$ $равносильно логарифм по основанию 2 2 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 2x плюс 4 меньше левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате минус 6x больше 0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений x меньше 0, x больше 6. конец совокупности .$

Учитывая, что $x больше 2,$ получаем: $x больше 6.$

Если $x меньше минус 2,$ то:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус x минус 2 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус x плюс 2 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус x минус 2 правая круглая скобка плюс 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус x плюс 2 правая круглая скобка больше 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус x минус 2 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше минус 1 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 2 2 левая круглая скобка минус x минус 2 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно минус 2x минус 4 меньше левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате минус 2x плюс 8 больше 0.$ $равносильно логарифм по основанию 2 2 левая круглая скобка минус x минус 2 правая круглая скобка меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно минус 2x минус 4 меньше левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате минус 2x плюс 8 больше 0.$

Полученное неравенство выполняется при всех $x.$

Таким образом, решение исходного неравенства: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Приведем другое решение.

Внесём 3 под знак логарифма и используем формулу разности логарифмов:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 2 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби правая круглая скобка в кубе больше 2 равносильно$

$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в кубе конец дроби больше 2,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше 4,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 минус 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше 0,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно$ $равносильно система выражений логарифм по основанию 2 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в кубе конец дроби больше 2,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше 4,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 минус 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше 0,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате минус 6x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 8 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше 0,x в квадрате минус 4 больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 2,x больше 6 конец совокупности .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

507708

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$