Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 15 № 484593

Решите неравенство 3 логарифм по основанию 11 (x в степени 2 плюс 8x минус 9) меньше или равно 4 плюс логарифм по основанию 11 дробь, числитель — (x минус 1) в степени 3 , знаменатель — x плюс 9 .

Спрятать решение

Решение.

Найдём значения x, при которых определены обе части неравенства:

 система выражений x в степени 2 плюс 8x минус 9 больше 0, дробь, числитель — (x минус 1) в степени 3 , знаменатель — x плюс 9 больше 0 конец системы . равносильно система выражений (x плюс 9)(x минус 1) больше 0, дробь, числитель — (x минус 1) в степени 3 , знаменатель — x плюс 9 больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка x меньше минус 9, новая строка x больше 1. конец совокупности .

Для таких x получаем:

3 логарифм по основанию 11 (x плюс 9)(x минус 1) плюс логарифм по основанию 11 дробь, числитель — x плюс 9, знаменатель — (x минус 1) в степени 3 = логарифм по основанию 11 дробь, числитель — (x плюс 9) в степени 3 (x минус 1) в степени 3 (x плюс 9), знаменатель — (x минус 1) в степени 3 = логарифм по основанию 11 (x плюс 9) в степени 4 .

Тогда исходное неравенство примет вид: логарифм по основанию 11 (x плюс 9) в степени 4 меньше или равно 4. Учитывая, что неравенство определено на множестве ( минус принадлежит fty, минус 9)\cup (1, плюс принадлежит fty ), имеем:

2 логарифм по основанию 11 (x плюс 9) в степени 2 меньше или равно 4 равносильно (x плюс 9) в степени 2 меньше или равно 11 в степени 2 равносильно (x минус 2)(x плюс 20) меньше или равно 0 \underset{ОДЗ}{\mathop{ равносильно }} совокупность выражений минус 20 меньше или равно x меньше минус 9, 1 меньше x меньше или равно 2. конец совокупности

 

Ответ: [ минус 20; минус 9)\cup(1;2].

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства смешанного типа
Классификатор базовой части: 2.2.2 Рациональные неравенства, 2.2.4 Логарифмические неравенства, 2.2.9 Метод интервалов
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Гость 14.04.2014 12:45

почему вы вынесли двойку? если вынести четверку, то все хорошо сократится

 логарифм по основанию 11 (x плюс 9) в степени 4 \le4

4 логарифм по основанию 11 (x плюс 9))\le4

 логарифм по основанию 11 (x плюс 9))\le1

Александр Иванов

Так делать нельзя. Теряются решения.

Можно вынести четверку, но тогда должен появится модуль:

 логарифм по основанию 11 (x плюс 9) в степени 4 меньше или равно 4

4 логарифм по основанию 11 |x плюс 9| меньше или равно 4

0 меньше |x плюс 9| меньше или равно 11

Димон Фирсов 24.11.2014 20:19

А почему у вас в одном логарифме:  дробь, числитель — (х минус 1) в степени 3 , знаменатель — x плюс 9 , а на следующей строчке наоборот  дробь, числитель — x плюс 9, знаменатель — (x минус 1) в степени 3 ?

Константин Лавров

По свойствам логарифма.

Руслан Джаббаров (Москва) 28.05.2015 18:16

Нам в школе говорили, что на переменную нельзя сокращать- произойдет потеря корней.

а вы сократили в числителе и знаменателе (x-1)^3

Александр Иванов

Действительно, сокращать на неизвестное опасно, ведь оно может оказаться равно нулю, а на нуль делить нельзя. Но в данном случае при всех значениях переменной из ОДЗ ( в решении есть фраза "Для таких х...") выражение, на которое сокращаем не равно нулю, поэтому ничего страшного не произойдёт)))