РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 507693 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Другие неравенства смешанного типа

Решите неравенство: $дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: |x минус 2| конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 8 левая круглая скобка минус x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка в степени 6 , знаменатель: x минус 2 конец дроби .$

Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: |x минус 2| конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 8 левая круглая скобка минус x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка в степени 6 , знаменатель: x минус 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: |x минус 2| конец дроби больше или равно дробь: числитель: 6 логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: |x минус 2| конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 8 левая круглая скобка минус x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка в степени 6 , знаменатель: x минус 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: |x минус 2| конец дроби больше или равно дробь: числитель: 6 логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби .$

При $x больше 2:$

$система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 6 правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби больше или равно 0, новая строка x больше 2 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби больше или равно 0, новая строка x больше 2 конец системы равносильно система выражений новая строка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x больше 2 конец системы равносильно$ $система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 6 правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби больше или равно 0, новая строка x больше 2 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2 конец дроби больше или равно 0, новая строка x больше 2 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x больше 2 конец системы равносильно$

$равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс 4x минус 4 больше или равно 1, новая строка x больше 2 конец системы равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x больше 2. конец системы равносильно x больше 2.$

При $x меньше 2:$

$система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 6 правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно система выражений новая строка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно$ $система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 6 правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно система выражений новая строка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно$ $система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 6 правая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус x конец дроби больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно$

$равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс 4x минус 4 больше или равно 1, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс 4x минус 5 больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно совокупность выражений новая строка x\leqslant минус 5, новая строка 1 меньше или равно x меньше 2. конец совокупности .$ $равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс 4x минус 4 больше или равно 1, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс 4x минус 5 больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка x меньше 2 конец системы равносильно совокупность выражений новая строка x\leqslant минус 5, новая строка 1 меньше или равно x меньше 2. конец совокупности .$

Таким образом, получаем, что решение неравенства  — множество $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507693

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$