PDF-версии: 
В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, отметили середину ребра CD — точку E.
а) Докажите, что плоскость ABE перпендикулярна ребру CD.
б) Найдите расстояние от точки A до прямой BE.
Решение. а) BE — высота равностороннего треугольника BCD. AE — высота равностороннего треугольника ACD. Поэтому
и 
Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости 
б) Рассмотрим треугольник AEB и его высоты AH и 
Составим равенство: 
Заметим теперь, что треугольник AEB равнобедренный и 
поэтому 
Тогда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |