PDF-версии: 
Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и АС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О.
а) Докажите, что площади треугольников АОВ и СОЕ равны.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.
Решение. а) Площади треугольников ABE и ACE равны, так как эти треугольники имеют общее основание АЕ и равные высоты, проведенные из вершин В и С соответственно. Следовательно,
и тогда
б) Из вершин А и Е трапеции ВАЕС проведем перпендикуляры к ВС, основания которых обозначим М и N соответственно. Если у четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон равны. Следовательно,
Пусть NC = x, тогда 
В прямоугольном треугольнике AMB находим:
Аналогично в прямоугольном треугольнике CNE имеем:
Но 
а потому 
откуда 
Далее находим:
откуда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |