Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и АС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О.
а) Докажите, что площади треугольников АОВ и СОЕ равны.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.
а) Площади треугольников ABE и ACE равны, так как эти треугольники имеют общее основание АЕ и равные высоты, проведенные из вершин В и С соответственно. Следовательно,
и тогда
б) Из вершин А и Е трапеции ВАЕС проведем перпендикуляры к ВС, основания которых обозначим М и N соответственно. Если у четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон равны. Следовательно,
Пусть NC = x, тогда 
В прямоугольном треугольнике AMB находим:
Аналогично в прямоугольном треугольнике CNE имеем:
Но 
а потому 
откуда 
Далее находим:
откуда
Ответ: б) 