PDF-версии: 
Окружность касается стороны АВ параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и ВС в точках М и N соответственно и проходит через вершины С и D.
а) Докажите, что DN = CM.
б) Найдите DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18.
Решение. а) Рассмотрим четырехугольник NMDC, вписанный в окружность. MD || NC, так как эти отрезки лежат на противоположных сторонах параллелограмма. Поскольку
MN и CD — не параллельны, четырехугольник NMDC — трапеция. Однако, любая трапеция, вписанная в окружность, непременно является равнобедренной. А у равнобедренной трапеции диагонали равны.
Значит, DN = CM, что и требовалось доказать.
б) По свойству параллелограмма: AD = BC = 18.
Пусть Р — точка касания окружности отрезка АВ. По свойству отрезков секущей и касательной к окружности имеем:
Проведем высоту NH трапеции NMDC. По известному свойству равнобедренной трапеции имеем: 
В прямоугольном треугольнике MHN по теореме Пифагора: 
А в прямоугольном треугольнике NHD:
Ответ: б) 30.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |