СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508193

Окружность касается стороны АВ параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и ВС в точках М и N соответственно и проходит через вершины С и D.

а) Докажите, что DN = CM.

б) Найдите DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18.

Решение.

а) Рассмотрим четырехугольник NMDC, вписанный в окружность. MD || NC, так как эти отрезки лежат на противоположных сторонах параллелограмма. Поскольку MN и CD — не параллельны, четырехугольник NMDC — трапеция. Однако, любая трапеция, вписанная в окружность, непременно является равнобедренной. А у равнобедренной трапеции диагонали равны.

Значит, DN = CM, что и требовалось доказать.

б) По свойству параллелограмма: AD = BC = 18.

Пусть Р — точка касания окружности отрезка АВ. По свойству отрезков секущей и касательной к окружности имеем:

Проведем высоту NH трапеции NMDC. По известному свойству равнобедренной трапеции имеем:

В прямоугольном треугольнике MHN по теореме Пифагора:

А в прямоугольном треугольнике NHD:

 

Ответ: б) 30.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.