РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508526 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x минус 4 конец дроби меньше или равно 1.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби минус логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1.$

Рассмотрим два случая.

Первый случай: $x плюс 6 больше 1 равносильно x больше минус 5.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1 равносильно 0 меньше дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно x плюс 6 равносильно$ $система выражений новая строка дробь: числитель: x в квадрате плюс 5x плюс 4, знаменатель: x конец дроби больше или равно 0, новая строка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше или равно 0, новая строка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби больше 0, конец системы .$

откуда находим: $левая квадратная скобка минус 4, минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Полученные значения переменной удовлетворяют условию $x больше минус 5.$

Второй случай: $0 меньше x плюс 6 меньше 1 равносильно минус 6 меньше x меньше минус 5.$ Имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби больше или равно x плюс 6 равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 5x плюс 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше 0 равносильно левая квадратная скобка \beginmatrix x меньше или равно минус 4, минус 1 меньше или равно x меньше 0. \endmatrix .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби больше или равно x плюс 6 равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 5x плюс 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше 0 равносильно левая квадратная скобка \beginmatrix x меньше или равно минус 4, минус 1 меньше или равно x меньше 0. \endmatrix .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x конец дроби больше или равно x плюс 6 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате плюс 5x плюс 4, знаменатель: x конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби больше 0 равносильно левая квадратная скобка \beginmatrix x меньше или равно минус 4, минус 1 меньше или равно x меньше 0. \endmatrix .$

Учитывая условие $0 меньше x плюс 6 меньше 1,$ получаем: $минус 6 меньше x меньше минус 5.$ Решение неравенства: $левая круглая скобка минус 6, минус 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4, минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 6, минус 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4, минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

508526

$левая круглая скобка минус 6, минус 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4, минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508526	$левая круглая скобка минус 6, минус 5 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 4, минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 4, плюс бесконечность правая круглая скобка .$