РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 508570 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Модуль числа, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Использование косвенных методов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус \tfracx в квадрате правая круглая скобка 37 левая круглая скобка x в квадрате минус 12|x| плюс 37 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 1 плюс \tfracx в квадрате правая круглая скобка 37 левая круглая скобка x в квадрате минус 12|x| плюс 37 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Решение. Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, не меньше 1:

$x в квадрате минус 12|x| плюс 37= левая круглая скобка |x| минус 6 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 больше или равно 1.$

Кроме того, при ненулевых значениях переменной справедливы неравенства $1 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 37 конец дроби меньше 1$ и $1 плюс дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 37 конец дроби больше 1,$ а значит,

$логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус \tfracx в квадрате правая круглая скобка 37 левая круглая скобка x в квадрате минус 12|x| плюс 37 правая круглая скобка меньше или равно 0,$ и $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 плюс \tfracx в квадрате правая круглая скобка 37 левая круглая скобка x в квадрате минус 12|x| плюс 37 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Таким образом, неравенство выполнено в том и только в том случае, когда оба логарифма равны нулю. Имеем:

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус \tfracx в квадрате правая круглая скобка 37 левая круглая скобка x в квадрате минус 12|x| плюс 37 правая круглая скобка =0, логарифм по основанию левая круглая скобка 1 плюс \tfracx в квадрате правая круглая скобка 37 левая круглая скобка x в квадрате минус 12|x| плюс 37 правая круглая скобка =0 конец системы . \Rightarrow x в квадрате минус 12|x| плюс 37=1 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка |x| минус 6 правая круглая скобка в квадрате плюс 1=1 равносильно |x|=6 равносильно совокупность выражений x=6, x= минус 6. конец совокупности .$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус \tfracx в квадрате правая круглая скобка 37 левая круглая скобка x в квадрате минус 12|x| плюс 37 правая круглая скобка =0, логарифм по основанию левая круглая скобка 1 плюс \tfracx в квадрате правая круглая скобка 37 левая круглая скобка x в квадрате минус 12|x| плюс 37 правая круглая скобка =0 конец системы . \Rightarrow$
$\Rightarrow x в квадрате минус 12|x| плюс 37=1 равносильно левая круглая скобка |x| минус 6 правая круглая скобка в квадрате плюс 1=1 равносильно$
$равносильно |x|=6 равносильно совокупность выражений x=6, x= минус 6. конец совокупности .$

Проверка подтверждает, что при найденных значениях x исходное неравенство выполняется.

Таким образом, ответом являются два значения: x  =  6 или x  =  −6.

Ответ: $левая фигурная скобка минус 6;6 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая фигурная скобка минус 6;6 правая фигурная скобка .$

508570

$левая фигурная скобка минус 6;6 правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: Модуль числа, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Использование косвенных методов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	508570	$левая фигурная скобка минус 6;6 правая фигурная скобка .$