РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

а)  Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б)  Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в)  Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Решение. а)  Да, можно это верно, например, для чисел 2006 и 8, их сумма равна 2014, а сумма цифр в каждом числе равна 8.

б)  Попробуем представить число 199 в виде суммы двух чисел, начиная с суммы 198 + 1. Видим, что суммы цифр данных чисел не равны. Теперь будем отнимать от первого числа по единице и прибавлять единицу ко второму, чтобы сумма сохранялась. Увидим, что как бы мы ни разбивали 199 на два целых числа сумма цифр этих чисел всегда будет равняться 19. Пусть в одном из чисел суммы сумма цифр равна m, тогда сумма цифр втрого числа 19 − m. Они равны, если m  =  19 − m, откуда получаем, что m  =  9,5. Но m целое, следовательно, получили противоречие. Таким образом, 199 нельзя представить в виде суммы двух чисел с одинаковой суммой цифр.

в)  Необходимо суммировать как можно меньшие числа, тогда и получим наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Примем во внимание, что наименьшая сумма цифр, при которой можно получить 5 различных чисел с одинаковой суммой цифр, равна 4. получим числа 4, 13, 22, 31, 40, их сумма будет наименьшей, и будет равна 110.

Ответ: а) да; б) нет; в) 110.

----------

Дублирует задание 505503.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	510883	а) да; б) нет; в) 110.

Ключ