РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 511298 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство $3 логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 6x минус 7 правая круглая скобка меньше или равно 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x плюс 7 конец дроби .$

Решение. Найдём значения x, при которых определены обе части неравенства:

$система выражений x в квадрате плюс 6x минус 7 больше 0, дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x плюс 7 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше 0, дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x плюс 7 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x меньше минус 7, новая строка x больше 1. конец совокупности .$

Для таких x получаем:

$3 логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 7, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в степени 4 .$ $3 логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 7, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе конец дроби =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в кубе конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в степени 4 .$

Тогда имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в степени 4 меньше или равно 4 равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 4 равносильно левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 6 в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 13 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно \left \beginalign минус 13 меньше или равно x меньше или равно минус 1. \endalign$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в степени 4 меньше или равно 4 равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 6 в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 13 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно \left \beginalign минус 13 меньше или равно x меньше или равно минус 1. \endalign$

Учитывая, что неравенство определено на множестве $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 7 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ имеем: $минус 13 меньше или равно x меньше минус 7.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 13; минус 7 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2