РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 511383 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности, Использование симметрий, оценок, монотонности

Задача с параметром. Использование монотонности, оценок

Найдите все значения a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y, удовлетворяющих неравенству $5|x минус 2| плюс 3|x плюс 2a минус 1| меньше или равно корень из: начало аргумента: 4 минус y в квадрате конец аргумента плюс 7.$

Решение. Рассмотрим две функции: $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5\left|x минус 2| плюс 3\left|x плюс 2a минус 1|$ и $g левая круглая скобка y правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 4 минус y в квадрате конец аргумента плюс 7.$

Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5\left|x минус 2| плюс 3\left|x плюс 2a минус 1|$ является кусочно-линейной, причём при $x меньше 2$ угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при $x больше 2$ угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при $x меньше 2$ и возрастает при $x больше 2,$ поэтому $f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =3\left|2a плюс 1|.$

Поскольку $y в квадрате больше или равно 0,$ получаем: $g левая круглая скобка y правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = 9.$

Если $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ,$ то $f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше или равно g левая круглая скобка y правая круглая скобка ,$ поэтому неравенство $f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка y правая круглая скобка$ не имеет решений.

Если $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ,$ то пара чисел $x = 2, у = 0$ удовлетворяет неравенству $f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка y правая круглая скобка .$ Получаем:

$f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно 3\left|2a плюс 1|\leqslant9 равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно 2a плюс 1\leqslant3 равносильно минус 2 меньше или равно a\leqslant1.$ $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно 3\left|2a плюс 1|\leqslant9 равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно 2a плюс 1\leqslant3 равносильно$
$равносильно минус 2 меньше или равно a\leqslant1.$ $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка меньше или равно g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3\left|2a плюс 1|\leqslant9 равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно 2a плюс 1\leqslant3 равносильно$
$равносильно минус 2 меньше или равно a\leqslant1.$

Ответ: [−2; 1].

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Обоснованно получены все значения: $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , а = 0.$ Ответ отличается от верного только исключением точки $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ и/или включением точки $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби$	3
Обоснованно получены все значения: $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , а = 0$	2
Верно найдено одно или два из значений $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби$ или $а = 0$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных вышe	0
Максимальный балл	4

511383

[−2; 1].

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Неравенства смешанного типа

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511383	[−2; 1].