РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 511391 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Уравнение с модулем, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях

Задача с параметром. Использование симметрий

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$| левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 в степени левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка | плюс |x минус 1| плюс левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс 4 в степени левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =16 плюс 16 в степени a$

имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a.

Решение. Сделаем замену $t=x минус 1,$ тогда исходное уравнение примет вид

$|t в квадрате минус 4 в степени левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка | плюс |t| плюс t в квадрате плюс 4 в степени левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =16 плюс 16 в степени a$

Заметим, что если некоторое число $t_0$ является решением данного уравнения при некотором значении параметра a, то и $минус t_0$ также будет являться его решением при том же значении $a.$ Это означает, что уравнение может иметь единственное решение, только в том случае, если $t_0=0.$

Подставив это решение в уравнение, получим:

$4 в степени левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка плюс 4 в степени левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =16 плюс 16 в степени a равносильно дробь: числитель: 4, знаменатель: 4 в степени a конец дроби плюс дробь: числитель: 4 в степени a , знаменатель: 4 конец дроби =16 плюс 16 в степени a равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 в степени левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =1,$

откуда $a= минус 1.$

Пусть $a = минус 1.$ Тогда исходное уравнение примет вид

$| левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 16| плюс |x минус 1|=16 минус левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате .$

Отсюда следует, что $16 минус левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0,$ следовательно, $| левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 16|=16 минус левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате .$

Исходное уравнение принимает вид $|x минус 1| = 0,$ и оно имеет единственное решение $x =1,$ удовлетворяющее условию $16 минус левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0.$ Следовательно, $a = минус 1$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: при $a= минус 1$ единственное решение $x=1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения найдено значение а. Доказано отсутствие других возможных значений а. Получено неверное значение x из-за вычислительной ошибки.	3
С помощью верного рассуждения найдено значение а и получено соответствующее значение x. Не обосновано отсутствие других решений.	2
Верно найдено значение а; возможно, имеются посторонние решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

511391

при $a= минус 1$ единственное решение $x=1.$

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Уравнение с модулем, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511391	при $a= минус 1$ единственное решение $x=1.$