РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 511559 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 4x плюс 48 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 4x в кубе плюс 4x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби .$

Решение. В левой части перейдём к другому основанию:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 4x плюс 48 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 4x в кубе плюс 4x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби .$

Заметим, что при $x больше минус 5$ и $x не равно минус 4$ неравенство равносильно неравенству:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 4x плюс 48 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 4x в кубе плюс 4x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби .$

Положив в последнем неравенстве $y=x в квадрате плюс 2x,$ получаем:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2y плюс 48 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка y в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2y плюс 48 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: y в квадрате минус 2y минус 48, знаменатель: y минус 4 конец дроби меньше или равно 0, новая строка y больше 3 конец системы . равносильно 4 меньше y меньше или равно 8.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2y плюс 48 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка y в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2y плюс 48 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: y в квадрате минус 2y минус 48, знаменатель: y минус 4 конец дроби меньше или равно 0, новая строка y больше 3 конец системы . равносильно 4 меньше y меньше или равно 8.$

Далее имеем:

$система выражений новая строка x в квадрате плюс 2x больше 4, новая строка x в квадрате плюс 2x меньше или равно 8 конец системы . равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс 2x минус 4 больше 0, новая строка x в квадрате плюс 2x минус 8 меньше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка минус 4 меньше или равно x меньше минус 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , новая строка минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента меньше x меньше или равно 2. конец совокупности .$

Учитывая то, что $x не равно минус 4,$ получаем решения второго неравенства: $левая круглая скобка минус 4; минус 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;2 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 4; минус 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;2 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511559

$левая круглая скобка минус 4; минус 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;2 правая квадратная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511559	$левая круглая скобка минус 4; минус 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;2 правая квадратная скобка .$