Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 511559

Решите неравенство:  дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 4x плюс 48 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 4x в кубе плюс 4x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

В левой части перейдём к другому основанию:

 дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 4x плюс 48 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 4x в кубе плюс 4x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби .

 

Заметим, что при x больше минус 5 и x не равно минус 4 неравенство равносильно неравенству:

 дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 4x плюс 48 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 4x в кубе плюс 4x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби .

Положив в последнем неравенстве y=x в квадрате плюс 2x, получаем:

 дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2y плюс 48 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка y в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2y плюс 48 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно система выражений  новая строка дробь: числитель: y в квадрате минус 2y минус 48, знаменатель: y минус 4 конец дроби меньше или равно 0,  новая строка y больше 3 конец системы . равносильно 4 меньше y меньше или равно 8.

Далее имеем:

 система выражений  новая строка x в квадрате плюс 2x больше 4,  новая строка x в квадрате плюс 2x меньше или равно 8 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x в квадрате плюс 2x минус 4 больше 0,  новая строка x в квадрате плюс 2x минус 8 меньше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка минус 4 меньше или равно x меньше минус 1 минус корень из 5,  новая строка минус 1 плюс корень из 5 меньше x меньше или равно 2. конец совокупности .

Учитывая то, что x не равно минус 4, получаем решения второго неравенства:  левая круглая скобка минус 4; минус 1 минус корень из 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1 плюс корень из 5;2 правая квадратная скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус 4; минус 1 минус корень из 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1 плюс корень из 5;2 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 508510: 508512 511559 Все

Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Kirill 06.01.2017 15:50

А разве не стоит заметить, что знаменатель не должен быть равен нулю?

Если сделать это, то появляется еще два промежутка

Александр Иванов

Кирилл, конечно, это обязательное условие. Но, если Вы внимательно изучите наше решение, Вы заметите, что оно учтено (y не равно 4)

Елена Седавных 08.02.2017 20:56

В последнем переходе от логарифмов к дробно-рациональному неравенству с у разность логарифмов равна логарифму отношения, а не логарифму разности.

Александр Иванов

 десятичный логарифм a минус десятичный логарифм b больше 0 равносильно система выражений a больше 0,b больше 0,a минус b больше 0. конец системы .