Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 508510

Решите неравенство:  дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 30 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка x в степени 4 минус 2x в кубе плюс x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

В левой части перейдём к другому основанию:

 дробь: числитель: \lg левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 30 правая круглая скобка умножить на \lg левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка _, знаменатель: \lg левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка умножить на \lg левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка x в степени 4 минус 2x в кубе плюс x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби .

 

Заметим, что при x больше минус 3 и x не равно минус 2 неравенство равносильно неравенству:

 дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 30 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка x в степени 4 минус 2x в кубе плюс x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби .

Положив в последнем неравенстве y=x в квадрате минус x, получаем:

 дробь: числитель: десятичный логарифм левая круглая скобка y плюс 30 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно дробь: числитель: десятичный логарифм y в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: десятичный логарифм y в квадрате минус десятичный логарифм левая круглая скобка y плюс 30 правая круглая скобка , знаменатель: десятичный логарифм левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка минус десятичный логарифм 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно система выражений  новая строка дробь: числитель: y в квадрате минус y минус 30, знаменатель: y минус 2 конец дроби меньше или равно 0,  новая строка y больше 1  конец системы . равносильно система выражений  новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка y минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: y минус 2 конец дроби меньше или равно 0,  новая строка y больше 1.  конец системы . равносильно 2 меньше y меньше или равно 6.

Таким образом, имеем:

 система выражений  новая строка x в квадрате минус x больше 2,  новая строка x в квадрате минус x меньше или равно 6 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x в квадрате минус x минус 2 больше 0,  новая строка x в квадрате минус x минус 6 меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl x меньше минус 1, x больше 2. \endarray .  новая строка минус 2 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка минус 2 меньше или равно x меньше минус 1, новая строка 2 меньше x меньше или равно 3. конец совокупности .

Учитывая то, что x не равно минус 2, получаем множество решений неравенства:  левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;3 правая квадратная скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;3 правая квадратная скобка .

 

Примечание.

Поясним переход от логарифма по основанию x плюс 3 к десятичному логарифму. Заметим, что при x больше минус 3,x не равно минус 2 можно произвести следующие преобразования:

 дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 30 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 30 правая круглая скобка = дробь: числитель: \lg левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 30 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 508510: 508512 511559 Все

Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
45 45 24.12.2016 20:29

При решении методом рационализации получилось, что 2 в ответ входит, да и если ее подставить в неравенство, то она удовл. ОДЗ.

Александр Иванов

При x=2 знаменатели превращаются в НУЛИ.

Дмитрий Керимов 28.01.2017 20:15

А почему забыто выражение (x^2 - x-1), которое должно быть больше нуля? Почему это не фигурирует никак?

Александр Иванов

Дмитрий, это не забыто, и фигурирует ещё как. Попытайтесь найти самостоятельно. Подсказка: смотрите на первую систему.

nikolai nekulenkov 21.02.2017 21:47

откуда взялся -lg1 в знаменателе?

Александр Иванов

С потолка....

\lg1 = 0

Неужели нельзя отнять нуль, взятый с потолка?

Наиль Фаттахов 22.04.2017 15:44

lgb1-lgb2>=0 это есть (b1-b2)/(10-1)>=0 почему нельзя воспользоваться этим преобразованием. Для чего нужно с потолка ноль брать?

Александр Иванов

Именно для того, чтобы воспользоваться Вашей формулой. Ведь для неё нужна разность логарифмов.

Поэтому  десятичный логарифм x больше 0 равносильно десятичный логарифм x минус \lg1 больше 0 равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка больше 0,x больше 0. конец системы .

Максим Сорокин 14.04.2018 13:36

Почему не было сначала определено ОДЗ примера? Здесь отсутствие ОДЗ не повлияло на ответ, но вполне могло бы повлиять, будь пример другим.

Александр Иванов

Максим, в решении учтено всё, что нужно учесть. Нахождение ОДЗ не является обязательным действием.