РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 512337 Добавить в вариант

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

15.1 Решите неравенство $0,5 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 25 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 7x минус 10 правая круглая скобка \geqslant3.$

15.2 Решите неравенство $дробь: числитель: x, знаменатель: x в квадрате плюс 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$

Решение. 15.1 Запишем неравенство в виде

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка \geqslant3.$

Любое решение неравенства удовлетворяет системе

$система выражений x минус 2 больше 0,5 минус x больше 0,x минус 2 не равно 1,5 минус x не равно 1, конец системы .$

откуда

$система выражений 2 меньше x меньше 5,x не равно 3,x не равно 4. конец системы .$

Для таких x имеем неравенство

$логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка \geqslant2.$

Замена: $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =z.$ Получаем $z плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: z конец дроби \geqslant2,$ откуда z > 0. Обратная замена:

$логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка больше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 1 конец дроби больше 0 равносильно 3 меньше x меньше 4.$

Ответ: (3; 4).

15.2 Преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: x, знаменатель: x в квадрате плюс 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x конец дроби равносильно дробь: числитель: 4x в квадрате минус x в квадрате минус 3, знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 правая круглая скобка 4x конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 правая круглая скобка x конец дроби \leqslant0.$

Учитывая, что при всех значениях x выражение x² + 3 положительно, получаем

$дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби \leqslant0,$

откуда

$x\leqslant минус 1,0 меньше x\leqslant1.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ключ