PDF-версии: 
В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 
Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.
а) Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.
б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.
Решение. а) Поскольку SA = SC, точка S лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку AC и проходящей через его середину M. Следовательно, O лежит на прямой BM. Обозначим высоту пирамиды за x, тогда
Следовательно, 
и 
При этом 
поэтому точка O лежит вне треугольника. Более того, поскольку AO < BO, она лежит на продолжении BM за точку M.
б) Из треугольника SMA найдем 
Теперь из треугольника SMO находим 
Тогда из треугольника BOS имеем:
Тогда 
и
Приведем вариант решения п. а), предложенный Елизаветой Римшей.
В треугольнике ABC высота 
По теореме Пифагора 
Напишем теорему косинусов для треугольника BMS:
Следовательно, 
тупой и высота SO лежит вне треугольника.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |