Ре­ше­ние. Чтобы при­быль за три года была не мень­ше 78 млн руб. не­об­хо­ди­мо, чтобы еже­год­ная при­быль была не мень­ше 26 млн руб., то есть, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство

от­ку­да, ис­поль­зуя не­ра­вен­ство между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­ним гео­мет­ри­че­ским, по­лу­ча­ем:

Удо­сто­ве­рим­ся, что это зна­че­ние па­ра­мет­ра до­сти­га­ет­ся, то есть су­ще­ству­ет ко­ли­че­ство про­дук­ции x, при ко­то­ром до­сти­га­ет­ся эта цена.

Таким об­ра­зом, при p  =  10 (цене 10 тыс. руб) и x  =  8 (про­из­вод­стве 8 тыс. еди­ниц про­дук­ции), завод оку­пит­ся за три года.

Ответ: p  =  10.

При­ме­ча­ние.

На­пом­ним, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское не­от­ри­ца­тель­ных чисел не мень­ше их сред­не­го гео­мет­ри­че­ско­го. Иными сло­ва­ми, если то или при­чем не­ра­вен­ства об­ра­ща­ют­ся в ра­вен­ства тогда и толь­ко тогда, когда числа равны. По­след­ним не­ра­вен­ством мы и вос­поль­зо­ва­лись в ре­ше­нии:

При­ве­дем ре­ше­ние То­фи­га Али­е­ва.

Чтобы при­быль за три года была не мень­ше 78 млн руб., не­об­хо­ди­мо, чтобы еже­год­ная при­быль была не мень­ше 26 млн руб., то есть, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство

Левая часть не­ра­вен­ства за­да­ет па­ра­бо­лу с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз, наи­боль­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся в вер­ши­не при

Таким об­ра­зом, завод будет вы­пус­кать про­дук­цию в ко­ли­че­стве при этом цена со­ста­вит и наи­мень­ше­му зна­че­нию будет со­от­вет­ство­вать наи­мень­шее зна­че­ние p. Под­ста­вив вы­ра­же­ние для p в не­ра­вен­ство (⁎), по­лу­чим

от­ку­да Ко­ли­че­ство вы­пус­ка­е­мой про­дук­ции долж­но быть по­ло­жи­тель­ной ве­ли­чи­ной, по­это­му ми­ни­маль­ное зна­че­ние равно 8, при этом цена будет равна 8 + 2  =  10.