Ре­ше­ние. По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, а ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти оди­на­ко­во эф­фек­тив­но до­бы­ва­ют и алю­ми­ний, и ни­кель, они могут до­бы­вать любой из ме­тал­лов. За сутки ими будет до­бы­то 160 · 5 · 0,1  =  80 кг ме­тал­ла.

Пусть во вто­рой об­ла­сти алю­ми­ний до­бы­ва­ют t ра­бо­чих, а ни­кель  — 160 − t ра­бо­чих. Тогда за сутки они до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг ни­ке­ля. Най­дем наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции для на­ту­раль­ных t, не боль­ших 160. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

При t мень­ших 80 про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, а при t боль­ших 80 про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, по­это­му в точке 80 функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма рав­но­го наи­боль­ше­му зна­че­нию функ­ции на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

Таким об­ра­зом, 80 ра­бо­чих вто­рой об­ла­сти сле­ду­ет на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния и 80  — на до­бы­чу ни­ке­ля. Они до­бу­дут 40 кг ме­тал­ла. Сов­мест­но ра­бо­чие пер­вой и вто­рой об­ла­сти до­бу­дут 120 кг ме­тал­ла.

Ответ: 120 кг.