Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 513301

В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?

Спрятать решение

Решение.

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, они могут добывать любой из металлов. За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,1 = 80 кг металла.

Пусть во второй области алюминий добывают t рабочих, а никель — 160 − t рабочих. Тогда за сутки они добудут  корень из (5t) кг алюминия и  корень из (5(160 минус t)) кг никеля. Найдем наибольшее значение функции f(t)= корень из (5t) плюс корень из (800 минус 5t) для натуральных t, не больших 160. Имеем:

f'(t)= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 корень из (5t) конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 корень из (800 минус 5t) конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из (800 минус 5t) минус корень из (5t) , знаменатель: корень из (5t) умножить на корень из (800 минус 5t) конец дроби .

Найдем нули производной:

 корень из (800 минус 5t) = корень из (5t) \undersett принадлежит N \mathop равносильно 800 минус 5t=5t равносильно t=80.

При t меньших 80 производная положительна, а при t больших 80 производная отрицательна, поэтому в точке 80 функция достигает максимума f_max=40, равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Тем самым, 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу никеля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 120 кг металла.

 

Ответ: 120 кг.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 513298: 513301 515652 515747 Все

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор