PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB = 6, а боковое ребро 
На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Решение. а) Плоскость MNK пересекает плоскости оснований ABCD и A1B1C1D1 по параллельным прямым, следовательно, прямые NK и ML параллельны, а CL = 1.
Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:
Поэтому MNKL — квадрат.
б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A1B1. Тогда, так как 
получаем 
поэтому прямая WM, а значит и плоскость MWK пересекает ребро AA1 в его середине E. Аналогично, плоскость MNK пересекает ребро CC1 в его середине F.
В прямоугольнике AEFC противоположные стороны: 
Сечение MENKFL состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна
Ответ: б) 55.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |