PDF-версии: 
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Решение. Пусть 
тогда уравнение запишется в виде 
откуда 
или 
Значит, решения исходного уравнения — это решения одного из уравнений 
или 
Исследуем, сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и b. При 
уравнение принимает вид 
Это квадратное уравнение, дискриминант которого равен 
Таким образом, уравнение имеет два решения при 
одно решение при 
и не имеет решений при 
При 
уравнение принимает вид 
и имеет одно решение.
Уравнение и 
совпадают при 
то есть при 
В этом случае мы получаем единственное уравнение 
которое имеет два решения.
При других значениях a исходное уравнения имеет ровно два решения, если либо оба уравнения и имеют по одному решению, либо одно из них не имеет решений, а другое имеет два решение. При каждое из этих уравнений имеет единственное решение и эти решения различны. При других значениях a выполнено неравенство 
поэтому уравнение имеет два решения. А значит, уравнение не должно иметь решений. Это выполнено при 
то есть при 
и при 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  | 3 |
C помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a:  или  возможно, с включением граничных точек. | 2 |
Верно найдено хотя бы одно из значений a:  или  ИЛИ Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества значений a: ИЛИ Получено хотя бы одно из уравнений | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |