PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 
На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.
Решение. а) Плоскость
параллельна диагонали основания BD, поэтому пересекает основание ABCD по прямой KK1, параллельной BD, K1 лежит на CD. 
поэтому прямая сечения LL1 параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция 
Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Заметим, что проекцией прямой AC1 на плоскость ABCD является прямая AC. Кроме того, 
как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах 
следовательно, 
Рассмотрим плоскость AA1C1C. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. O — точка пересечения EF и AC1. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём 
Так как AA1C1C — прямоугольник, 
Значит, 
Таким образом,
Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, 
следовательно, треугольник 
прямоугольный, 
Таким образом, 
б) Расстояние от точки B1 до плоскости равно расстоянию до нее от любой точки параллельной ей прямой B1D1. Из точки M — пересечения диагоналей грани 
в плоскости AA1C1C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как по доказанному в п. а) 
плоскость 
следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем 
Заметим, 
Таким образом, 
Ответ: б) 
Приведем решение векторно-координатным методом.
Поместим начало координат в точке C, направим координатные оси так, как показано на рисунке. Прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда её направляющий вектор коллинеарен вектору, перпендикулярному этой плоскости. Проверим выполнение этого условия.
Найдем направляющий вектор прямой 
Найдем вектор 
перпендикулярный плоскости 
Определим координаты точек, лежащих в этой плоскости: 
Подставим найденные координаты в уравнение плоскости 
получим:
Плоскость 
не проходит через начало координат, поэтому можно положить D равным любому отличному от нуля числу. Пусть 
тогда 
Следовательно,
Заметим, что 
Следовательно, векторы 
и 
коллинеарные, а потому 
б) Расстояние от точки с координатами 
до плоскости 
определяется по формуле
Подставляя в формулу найденные в пункте а) коэффициенты уравнения плоскости и координаты точки 
получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |