PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно 
На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = 2, а B1L = 4. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Решение. а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные AC. Пусть эти прямые пересекают рёбра BC и A1B1 в точках K1 и L1 соответственно (рис. 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость BB1M. Пусть эта плоскость пересекает прямые AC, KK1 и LL1 в точках N, E и F соответственно. Четырёхугольник BB1MN — прямоугольник, причём
Кроме того, 
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFB1B (рис. 2), тогда
Поскольку 
то есть прямые EF и BM перпендикулярны.
Прямая KK1 параллельна прямой AC, которая перпендикулярна плоскости BB1M. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой BM, поэтому прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Поскольку прямая AC параллельна плоскости γ, расстояние от точки C до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |