PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно 
На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
Решение. а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные BD. Пусть эти прямые пересекают рёбра CD и B1C1 в точках K1 и L1 соответственно (рисунок 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость ACC1. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём
Кроме того, 
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда 
Поскольку 
то есть прямые EF и A1C перпендикулярны.
Прямая KK1 параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости AA1C. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой A1C, поэтому прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Пусть N — точка пересечения AC и BD. Поскольку прямая BD параллельна плоскости γ, расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Опустим из точки N перпендикуляр NH на прямую EF. Тогда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |