PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что прямая AB1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AC и BC1.
б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Решение. а) Поскольку CC1 = C1B1 = B1B = BC и ABCA1B1C1 — правильная призма, то CC1B1B — квадрат. Тогда K — точка пересечения диагоналей CC1B1B, поскольку делит одну из диагоналей на две равные части. Значит, B1K = KC. Тогда KL — средняя линия треугольника AB1C, поэтому KL || AB1.
б) Поскольку KL || AB1, необходимо найти угол LKB. По теореме Пифагора AB1 = C1B = 
Тогда 
Высота LB правильного треугольника ABC равна 
По теореме косинусов 
то есть 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |