PDF-версии: 
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 14 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 210 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 49 раз больше суммы цифр этого числа.
Решение. а) Произведение цифр числа 6723 равно 252, а сумма цифр равна 18, то есть в 14 раз меньше.
б) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 210(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 35, поэтому среди цифр найдётся цифра 5 и цифра 7. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd = 210(a + b + c + d) остаётся верным, то без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5 и 7 соответственно. Тогда 
Получаем противоречие.
в) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 49(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 49, поэтому среди цифр найдутся две цифры 7. Без ограничения общности будем считать, что c = d = 7.
Тогда ab = a + b + 14. Пусть a и b нечётные. Так как произведение двух нечётных чисел нечётно, а их сумма чётна, получаем: правая часть равенства чётна (сумма чётных чисел чётна), а левая — нечётна. Противоречие. Тогда хотя бы одно из чисел кратно 2. Будем считать, что на 2 делиться b.
Если b = 2, то 2a = a + 16, что невозможно. Если b = 4, то 4a = a + 18; a = 6.
Если b = 8, то 8a = a + 22; 
что невозможно. Число n = 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b = 6, то 6a = a + 20; a = 4. Этот вариант также получается из предпоследнего перестановкой цифр.
Ответ: а) например, 6723; б) нет; в) Число 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |