РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 516301 Добавить в вариант

Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Планиметрическая задача. Вписанные окружности и треугольники

Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.

а)  Докажите, что $AC в квадрате =BC умножить на CK.$

б)  Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKB , если $косинус B= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , AC=36,$ а площадь треугольника AKC равна $126 корень из 5 .$

Решение. а)  Точка K лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, значит, треугольники AKH и BKH равны, и $\angle ABC= \angle BAK= \angle CAK.$ Треугольники ABC и $KAC$ подобны по двум углам, поэтому $дробь: числитель: AC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: CK, знаменатель: AC конец дроби .$ Следовательно, $AC в квадрате =BC умножить на CK.$

б)  Пусть $\angle KAB = \angle KBA = бета .$ Тогда $синус бета = корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в квадрате бета конец аргумента = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $S_ACK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC умножить на AK умножить на синус бета ,$ получим уравнение $126 корень из 5 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 36 умножить на AK умножить на дробь: числитель: корень из 5 , знаменатель: 3 конец дроби ,$ откуда $AK=21.$ Далее $косинус бета = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2AK конец дроби , AB=2AK косинус бета =2 умножить на 21 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$ откуда $AB=28.$ Тогда $S_ABK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на AK умножить на синус бета = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 28 умножить на 21 умножить на дробь: числитель: корень из 5 , знаменатель: 3 конец дроби =98 корень из 5 .$

Пусть r  — радиус окружности, вписанной в треугольник $AKB.$ Тогда

$r= дробь: числитель: 2S_AKB, знаменатель: AK плюс KB плюс AB конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 98 корень из 5 , знаменатель: 21 плюс 21 плюс 28 конец дроби = дробь: числитель: 14 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 14 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: 14 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби .$

516301

$дробь: числитель: 14 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби .$

Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	516301	$дробь: числитель: 14 корень из 5 , знаменатель: 5 конец дроби .$