Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 516301
i

Дан тре­уголь­ник ABC. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не AB пе­ре­се­ка­ет­ся с бис­сек­три­сой угла BAC в точке K, ле­жа­щей на сто­ро­не BC.

а)  До­ка­жи­те, что AC в квад­ра­те =BC умно­жить на CK.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник AKB , если ко­си­нус B= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , AC=36, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKC равна 126 ко­рень из 5 .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Точка K лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку AB, зна­чит, тре­уголь­ни­ки AKH и BKH равны, и \angle ABC= \angle BAK= \angle CAK. Тре­уголь­ни­ки ABC и KAC по­доб­ны по двум углам, по­это­му дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CK, зна­ме­на­тель: AC конец дроби . Сле­до­ва­тель­но, AC в квад­ра­те =BC умно­жить на CK.

б)  Пусть \angle KAB = \angle KBA = бета . Тогда синус бета = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те бета конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , S_ACK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC умно­жить на AK умно­жить на синус бета , по­лу­чим урав­не­ние 126 ко­рень из 5 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 36 умно­жить на AK умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от­ку­да AK=21. Далее ко­си­нус бета = дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: 2AK конец дроби , AB=2AK ко­си­нус бета =2 умно­жить на 21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от­ку­да AB=28. Тогда S_ABK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB умно­жить на AK умно­жить на синус бета = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 28 умно­жить на 21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =98 ко­рень из 5 .

Пусть r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник AKB. Тогда

r= дробь: чис­ли­тель: 2S_AKB, зна­ме­на­тель: AK плюс KB плюс AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 98 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 21 плюс 21 плюс 28 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 14 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 14 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Методы геометрии: Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026